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[Microwave Engineering] conjugate dot product에 관하여.

주로 전력을 구할 때 그냥 내적을 하는 것이 아닌, 한쪽에 conjugate를 한 후 내적해주는 것을 볼 수 있다. 그렇다면 왜 conjugate dot product를 해주는 걸까?

A, B를 Real, imagine 평면에서의 complex vector라 한다면, B는 A를 기준으로 다시         B = Bin + Bout 라 볼 수 있다.

따라서,  라고 볼 수 있고,

여기서 ABin 은 in phase 성분이다.


그렇다면, conjugate dot product는 뭐냐!

 여기서 Real 값은 AB값의 in phase 성분인 ABin과 동일하고, img값은 ABout과 동일한 값을 지닌다.

-> 따라서 전압과 전류에 대하여 conjugate dot product의 실수값을 취하면, 전력관련 값을 얻을 수 있으며, 허수값을 취하면, 전류에 대한 전압의 phase 값을 구할 수 있다.

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[Microwave Engineering] The terminated lossless transmission line(종단된 무손실 전송선로)

역시 전자장의 연장선이다. 임피던스는 전압과 전류의 비(ratio)라 했다. 어떤 전송선로가 특성 임피던스 Zo를 갖는다고 한다면 그 전송선로의 전압, 전류비가 정해진 것이다. 이때, 특성임피던스 Zo를 갖는 전송선로가 ZL의 임피던스을 만난다면 어떤 일이 일어날까? 

16차선의 도로가 갑자기 4차선 도로로 이어진다면 그 도로에 있던 차들은 어떻게 될까?
당연히 4차선만큼의 차만 빠져나가고 나머지는 정체될 수 밖에 없다.
terminated lossless transmission line도 똑같다. 특성한 전압과 전류가 흐르다가 갑자기 임피던스가 바뀌면서 일부 전압, 전류만 통과되고 나머지는 반사되면서 standing wave(정재파)를 만드는 것이다.

지금부터 전송선의 Zo와 terminated된 ZL이 있을 때의 반사계수 Γ, 그로인한 전압, 전류, 그리고 입력임피던스는 어떤 모양을 갖는지 살펴볼 것이다.

지난 번에 lumped-element circuit model을 통하여 전송선로에서 전압 전류의 일반해를 구해보았다.

(이제, 직관적으로 z방향으로 진행하는 파, 즉 입사파가 첫째항이고, 반사파가 둘째항임을 눈치챘을 것이다. )

z=0에서의 전압과 전류를 통해서 ZL을 구해보면,

이를 통해서 반사되는 파의 계수를 구할 수 있고, 

반사계수 Γ은 입사파와 반사파의 비(ratio)가 된다.

반사계수를 이용하여 다시 wave를 정리해보면

이 식을 통해서 standing wave식을 끌어내보면,

거리 l에 따라서 진동하는 파형이 나옴을 알 수 있다. 식에서 알 수 있듯이 전압은 2βl에 따라서 진동하는데, β=2pi/λ이므로 l=λ/2마다 값이 반복됨을 알 수 있다.

특성 임피던스 Zo를 갖는 전송선로가 ZL의 임피던스를 만났을 때, 그 임피던스의 차이로 인하여 반사파가 생기고, 그로 인하여 전송선로의 특정 지점에서 ZL 부하쪽으로 바라보았을 때의 입력 임피던스는 위치에 따라서 변하게 된다.

이식을 ZL과 Zo에 관하여 정리하면, 

:: 임피던스 ZL을 갖는 부하와 연결된 길이 l의 전송선로의 입력임피던스 관계식을 얻을 수 있다.

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[Random Process] 확률론 2

Defn
Let B be a collection of subsets of a sample space S, then B is called a σ-algebra or σ-field iff it satified the following three properties.
 1) ∮ ∈ B
 2) If A ∈ B, then A^c∈B (B is closed under complementation)
 3) If A1, A2, .. ∈ B then union of all Ai ∈ B (closed under countable unions)

Defn(Koliogorov)
Given a sample space S and an associated σ-algebra B, a set function P defined on  B is called a probability iff it satisfies the following
 1) P(A) ≥ 0 for all A ∈ B (nonnegativity)
 2) total prob : P(S) = 1
 3) If A1, A2, ... are mutually exclusive events, then P(∪Ai) = ∑P(Ai) (countable additivity)
// U(Ai), ∑P(Ai) 는 모든 Ai에 대해 연산을 함을 뜻한다.
// 앞으로 구할 확률의 성질들은 모두 이 세가지 성질로부터 나온다.

3. Calculus of prob // 모두 앞에서 이야기한 확률의 기본 성질 3가지로부터 증명가능하다.
Thm 3.1
 1) P(∮)=0
 2) P(A)≤1
 3) P(A^c) = 1-P(A)

Thm 3.2
 For any A, B
 1) P(A^c∩B) = P(B) - P(A∩B)
 2) P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
 3) A⊂B implies P(A) ≤ P(B)

ㅁ Some inequalities
1) Booles ineq.
 P(A∪B) ≤P(A) + P(B)
2) generalization of 1)
 P(A1∪A2∪ ... ∪An) ≤ ∑P(Ai)
3) Bonferroni's ineq
 P(A∩B) ≥ P(A) + P(B) - 1
4) generalization of 2)
 P(A1∩A2∩ ... ∩An) ≥ ∑P(Ai) - 1

5) union of three events

 P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A∩B) - P(A∩C) - P(B∩C) + P(A∩B∩C)

6) generalization of 5)

 P(A1∪A2∪...∪An) = P1 - P2 + ...(-1)^(n-1)Pn

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[Microwave Engineering] 임피던스에 관하여.

임피던스(Impedance)란 전압과 전류의 비를 뜻한다. 좀더 자세하게 설명하자면, 특정 주파수를 갖는 교류전원에 대하여 전압과 전류는 complex값을 가진다. 즉, 크기(magitude)와 위상(phase)를 갖는다. 그러므로 전압과 전류의 비(ratio) 또한 complex값을 가질 수 밖에 없는데, 이때 그 값을 임피던스라고 하고, 실수값을 저항(registance), 허수값을 리액턴스(reactance)라고 한다.

1. 특성 임피던스(characteristic impedance)

- 특성 임피던스는 전송선을 따라 흐르는 전압파와 전류파가 존재하면 이 비율이 입력에 관계없이 항상 일정한 것을 뜻한다. 특성 임피던스는 전압파와 전류파의 단순한 비율이다. 그런데, 특성 임피던스는 단순 비율인데 왜 우리가 공부해야 하는가? 특성 임피던스는 전송선의 반사 특성을 알려주는 중요 지표이기 때문에 전송선 이론에서는 매우 중요한 양이다. 전송선의 특성 임피던스를 알면 전압파와 전류파가 반사되지 않도록 만들 수 있다. 

https://ghebook.blogspot.kr/2011/08/characteristic-impedance.html

- 특성임피던스는 wave 를 전달하는 매체의 전달 특성이라는 것을 다시 한번 상기하자.

즉 wave 가 아니면 특성임피던스란 단어를 꺼낼 수도 없는 것이다. wave 는 매질(전자에서는 전송선로, transmission line) 을 타고 유한한(유의미한) 속도를 가지고 전달되는 에너지를 말하는 것인데, 아주 빠른 속도의 신호나 비교적 긴 전송선로를 다루는 경우에나 신호의 전달 속도가 의미를 가진다. 일반적인 회로 레벨인 lumped model 에서는 유한한 속도를 가지고 전달되는 것을 가정하지 않아도 해석에 무리가 없다.

http://m.blog.naver.com/zelkobaray/10003276330

- 기하학적 모양에 영향을 받는다. 

2. 고유 임피던스 (intrinsic impedance) 

- 의외로 intrinsic impedance에 대한 명확한 정의를 내린 문서를 찾기가 어렵다. 매질의 고유한 impedance라고 이해하면 될듯하다.. 

http://www.ktword.co.kr/abbr_view.php?m_temp1=4415&id=1284

3. 파동 임피던스 (wave impedance)

- The wave impedance of an electromagnetic wave is the ratio of the transverse components of the electric and magnetic fields (the transverse components being those at right angles to the direction of propagation).

- 전파의 진행방향에 대해 수직인 전계와 자계의 비

https://en.wikipedia.org/wiki/Wave_impedance

** 각각의 임피던스들의 정의와 특징

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[DSP] DTFT의 frequency domain에 관하여.

Fourier Transform에서 Time domain을 샘플링한 결과, 주파수 도메인에서는 주기함수(Periodic)한 성질을 띄게 되었다.

그리고 주파수를 normalize하게 되는데, 단위가 ω(rad/s)에서 Ω(rad)으로 간다는 말씀.

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform

The discrete-time Fourier transform of a discrete set of real or complex numbers x[n], for all integers n, is a Fourier series, which produces a periodic function of a frequency variable. When the frequency variable, ω, has normalized units of radians/sample, the periodicity is 2π, and the Fourier series is:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.}$

 위키피디아의 DTFT에 관한 설명을 참조하면, frequency variable 은 normalized unit이라 한다. 그럼 normalized unit은 뭘까?

역시 위키피아를 참조해보면, https://en.wikipedia.org/wiki/Normalized_frequency_(unit)

Normalized frequency is a unit of measurement of frequency equivalent to cycles/sample. In digital signal processing (DSP), the continuous time variable, t, with units of seconds, is replaced by the discrete integer variable, n, with units of samples. More precisely, the time variable, in seconds, has been normalized (divided) by the sampling interval, T (seconds/sample), which causes time to have convenient integer values at the moments of sampling. This practice is analogous to the concept of Natural units, meaning that the natural unit of time in a DSP system is samples.

-> DSP 에서는 time variable이 discrete integer variable n으로 대체된다고 한다. sampling하면서 필연적인 과정인듯.. 

The normalized value of a frequency variable, ${\displaystyle \textstyle f}$ (cycles/sec), is ${\displaystyle \textstyle f/f_{s},}$  where ${\displaystyle \textstyle f_{s}=1/T}$  is the sampling rate in samples/sec.  The maximum frequency that can be unambiguously represented by digital data is ${\displaystyle \textstyle f_{s}/2}$  (known as Nyquist frequency) when the samples are real numbers, and ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$  when the samples are complex numbers.^[1]  The normalized values of these limits are respectively 0.5 and 1.0 cycles/sample. This has the advantage of simplicity, but (similar to natural units) there is a potential disadvantage in terms of loss of clarity and understanding, as these constants ${\displaystyle \textstyle T}$ and ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$ are then omitted from mathematical expressions of physical laws.

-> 어떤 물리적 의미라기 보다는 수학적, 수식적인 변화같다.
-> normalization은 generalization와 의미가 어느정도 일맥상통한다. FS(fourier series), FT(fourier transform)에서 주파수 도메인에서는 단위가 ω(rad/s)였고, 그것은 시간 도메인에서의 T(주기)정보를 갖고 있었다. 여기서 DTFT로 오면서 주파수 도메인은 Ω(rad)가 되는데 그것은 시간도메인의 T(주기)를 담고 있지 않다는 것이고, 그 말은 다양한 주기를 가진 신호들에 대하여 적용해볼 수 있다는 말이 된다!
normalized value에 대한 생각을 좀 더 해봐야할듯.

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[Random Process] 1. 집합론, 확률론

랜덤프로세스라는 과목은 확률론에 기반하며, 확률론은 집합론으로부터 시작된다. 

그럼 집합론의 정의부터 시작하여 확률론까지의 기본 정의에 대해 이야기해보자.

1. Overview of probability

- Probability theory is a branch of mathematics that deal with uncertainty.

- A random experiment is an experiment for which the outcome cannot be predicted with certainty.

- Probability = chance or likelihood that some outcomes will happen.

2. 집합론(Set Theory)

* Definitions

- A set is a collection of well defined objects, called elements

- If A is a set and x is an element of A, we say "x belongs to A"

- In a random experiment, one of several possible results will occur each time. These possible results are called outcomes.

- The collection of all possible outcomes is called the sample space, Denote it by S

- A set of some well defined outcomes is called an event.

- Any event in a subset of the sample space.

* We talk about the probability of the event.

Definition

- countable set : A set containing either finite elts or the same number of elts as natural number.

ㅁBasic operation : on elts :: subset/ superset  A ⊂ B, if x ∈ A -> x ∈ B.

- equality : A = B if they have exactly the same elts.

ㅁ A=b iff A ⊃ B & A ⊂ B

- union : forming a larger collection, A∪B consists of all elts which are in A or in B or in both A and B, We say " either A or B"

ㅁ A∪B = { x | x ∈ A or x ∈ B }

- intersection : collecting the common elts. A∩B consists of all elts which common to both A and B, We say "both A and B"

ㅁ A∩B = { x | x ∈ A and x ∈ B }

- complement : opposite event. 

ㅁ A^c  = { x | x ∈/ A}

- difference : A\B or A-B consists of those elts which are in A but not in B, We say A  but not B".

- disjoint(mutually exclusive) : We say  "A and B disjoint if A ∩ B = ∮

- pairwise disjoint(mutually exclusive) : The events A1, A2, ... An are pairwise disjoint if Ai∩Aj = ∮

Theorem

 1. commutavity ( 교환법칙)

 2. associativity (결합법칙)

 3. distributivity (분배법칙)

 4. de Morgan's Laws

ㅁ Axiomatic foundation of prob. theory

- For each event A in the sample space S, the probability is a function which associates A with a number between zero and one. P(A) ∈ [0, 1]

- Basic principles of prob. 

1) Prob. is a measure of strength like length, area, volume, taking a value between 0 and 1. The impossible should have prob. 0.

2) The prob. should be additive whenever two events are disjoint.

3) In general, consider a good collection B of events which is large enough to contain all useful events including ∮ and S, and is closed under all possible countable set operations. This collection is called a "sigma algebra". Prob. is a set function defined only on this collection. 

** 집합론과 확률론에 관한 간단한 정의들.

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[Microwave Engineering] 1. 전송선로 이론

1. 전송선로에 대한 집중정수 소자 회로모델 (Lumped-element model)
-> 기존의 회로이론에서는 회로의 물리적 길이가 파장에 비해 매우 작다고 가정했다, 즉 전파의 위상차이가 없다!
-> 전송선로 이론에서는 전송선의 물리적 길이가 상당히 길 수 있기 떄문에 길이변화에 따라 선로의 전기적 특성이 달라진다!
//위상에 의해 달라지는 전송선의 특성이라..   : http://scieng.net/tech/17102 참고! 

다시말해서 특정 회로에 대하여 단위길이당 R, L, G, C를 논하게 된다는 말씀.

=> 회로에 대하여 KCL, KVL을 적용하여 얻은 식에 dz로 미분한 후 서로 대입하면 

 의 식을 얻을 수 있다. 

이 두식을 연립하여 해를 구해보면, 

1. 페이저 전압에 대하여

2. 페이저 전류에 대하여

3. 복소 전파 상수(The propagation constant)이며 주파수의 함수

 

를 얻을 수 있고, 식에 대한 해를 구해보면 거리에 대한 페이저 전압, 전류의 식을 구할 수 있다.

위에서 얻은 회로 방정식에 전압 전류식을 대입해보면 

** Lumped-element model을 통하여 transmission line equations를 구하였고, 그를 통하여 전송선로 상의 전압, 전류를 구할 수 있었다. 

** 전압, 전류를 이용해 특성임피던스를 구할 수 있었고, 그를 통해 전송선로의 임피던스가 전파의 주파수에 영향받는 것을 수식상에서 확인 할 수 있었다!(위상에 의해 달라지는 전송선 특성)

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