[DSP] DTFT의 frequency domain에 관하여.

Fourier Transform에서 Time domain을 샘플링한 결과, 주파수 도메인에서는 주기함수(Periodic)한 성질을 띄게 되었다.

그리고 주파수를 normalize하게 되는데, 단위가 ω(rad/s)에서 Ω(rad)으로 간다는 말씀.

출처 : https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform

The discrete-time Fourier transform of a discrete set of real or complex numbers x[n], for all integers n, is a Fourier series, which produces a periodic function of a frequency variable. When the frequency variable, ω, has normalized units of radians/sample, the periodicity is 2π, and the Fourier series is:

${\displaystyle X_{2\pi }(\omega )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,e^{-i\omega n}.}$

 위키피디아의 DTFT에 관한 설명을 참조하면, frequency variable 은 normalized unit이라 한다. 그럼 normalized unit은 뭘까?

역시 위키피아를 참조해보면, https://en.wikipedia.org/wiki/Normalized_frequency_(unit)

Normalized frequency is a unit of measurement of frequency equivalent to cycles/sample. In digital signal processing (DSP), the continuous time variable, t, with units of seconds, is replaced by the discrete integer variable, n, with units of samples. More precisely, the time variable, in seconds, has been normalized (divided) by the sampling interval, T (seconds/sample), which causes time to have convenient integer values at the moments of sampling. This practice is analogous to the concept of Natural units, meaning that the natural unit of time in a DSP system is samples.

-> DSP 에서는 time variable이 discrete integer variable n으로 대체된다고 한다. sampling하면서 필연적인 과정인듯.. 

The normalized value of a frequency variable, ${\displaystyle \textstyle f}$ (cycles/sec), is ${\displaystyle \textstyle f/f_{s},}$  where ${\displaystyle \textstyle f_{s}=1/T}$  is the sampling rate in samples/sec.  The maximum frequency that can be unambiguously represented by digital data is ${\displaystyle \textstyle f_{s}/2}$  (known as Nyquist frequency) when the samples are real numbers, and ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$  when the samples are complex numbers.^[1]  The normalized values of these limits are respectively 0.5 and 1.0 cycles/sample. This has the advantage of simplicity, but (similar to natural units) there is a potential disadvantage in terms of loss of clarity and understanding, as these constants ${\displaystyle \textstyle T}$ and ${\displaystyle \textstyle f_{s}}$ are then omitted from mathematical expressions of physical laws.

-> 어떤 물리적 의미라기 보다는 수학적, 수식적인 변화같다.
-> normalization은 generalization와 의미가 어느정도 일맥상통한다. FS(fourier series), FT(fourier transform)에서 주파수 도메인에서는 단위가 ω(rad/s)였고, 그것은 시간 도메인에서의 T(주기)정보를 갖고 있었다. 여기서 DTFT로 오면서 주파수 도메인은 Ω(rad)가 되는데 그것은 시간도메인의 T(주기)를 담고 있지 않다는 것이고, 그 말은 다양한 주기를 가진 신호들에 대하여 적용해볼 수 있다는 말이 된다!
normalized value에 대한 생각을 좀 더 해봐야할듯.